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日本の数学の教科書的には、6÷2(1+2)=1です

2012年7月4日午前のGoogle急上昇ワード
10位 6÷2 1+2
6÷2(1+2)が急上昇ワード

急上昇の理由: 「 6÷2(1+2) の答えは何か?」について、あちこちで盛り上がっているため。(検索ワードは括弧が省略されるため「6÷2 1+2」となっている)

ソースはこちら↓

ニュース30over : 6÷2(1+2)=  ←お前らこれ解ける? - ライブドアブログ

9派と1派がいますね。

9派は↓こう解釈しています。

  6÷2×(1+2)

1派は↓こう解釈しています。

  6÷{2×(1+2)}

結局は、「演算記号が省略された乗算」と「通常の乗算・除算」の優先順位を、
  同等        → 9
  省略乗算が強い → 1
となるわけで、ルールをどう決めるか(決まっているか)というだけの問題です。理系だ、文系だ、情弱だ、Fランだのと罵りあうようなもんでもないような気がします。

「Googleの計算結果でこう出ました」、「関数電卓でこう出ました」というのも、どっちの仕様でプログラムを組んだかという問題なので、これをもって正解とするのも根拠が弱い気がします。

ただ、「日本の数学教育でどう教えているか」というのは1つの基準になると思います。

で、この点について言及のある論文(静岡大学 教育学部教授 熊倉啓之氏)がありました↓

乗除混合演算式についての理解と指導に関する研究 : A÷B×CとA÷BCのタイプの式に焦点を当てて(PDFファイル)

この中で次のように述べられています。

 A÷B×C の典型的な誤答としてあげた計算式 A÷(B×C)については,中2「式の計算」において,単項式どうしの除法で扱っている。たとえば次のような計算式が登場する。

    12ab÷4b (A社・例)

 これは,12ab÷4×bではなく,12ab÷(4×b)の計算である。

 これらの計算の仕方については, どの社でも丁寧に扱っており,次のア,イの2つのいずれか,あるいは両方の方法である。


6÷2(1+2)=1の計算方法

つまり、日本の数学の教科書としては「4b」のように乗算記号を省略した場合は、ひとかたまりとして扱う(=通常の乗算・除算より高い優先順位とする)方針のようです。

まあ、数学の教科書が絶対に正しい、というわけでもないですけどね。

私の意見としては、数学の記号なんてものは、実用性のためにいろんな省略記法があって、誤解されるおそれがなければ省略して良いし、誤解されるおそれがある場合は省略しちゃいけない、というもんだと思います。

今回の問題になっている表記は、誤解されるおそれや、曖昧性があるため、「このような表記は避ける」というのが、正しい姿勢だと思いますけどね。

いろんな意味にとれる数学表記方法なんて、いくらでもありますからねえ・・・■

[2012年7月7日追記]
決まっていないなら、決めてしまえという話↓
「通常の乗算・除算より、演算子を省略した乗算の方が優先順位が高い」と決めてしまえ


[2015年7月26日追記]
この画像を貼り付けた理由についてはコメントを参照のこと。
数字だけの式ではありませんが、文字式は含んでおらず、乗算の演算子が省略されている例です
数学Iの教科書(61 啓林館 数Ⅰ 007)乗算演算子が省略されている例

テーマ : 2ちゃんねる - ジャンル : サブカル

コメント

No title

まったくそうですよね。
僕も×の省略してあるものはひと塊だと思って1と結論付けています。
この問題は括弧をもう一つつけて曖昧な表現を避けるべきですよね。

Re: No title

コメントありがとうございます。
演算子なしの連結は塊と見るのが自然ですよね。「掛け算と割り算の優先順位は・・・」みたいなルールを引っ張り出してくるより、ごく自然に。
数学って専門的になると、同じ表記法を他の分野では違う意味で使うこともよくありますからねえ。
f(x)って書けば、関数かなって解釈するのが普通ですが、定数fとxの掛け算の整式に無意味な括弧をつけたもの、なんて無理矢理な解釈もできなくもないですし。
P(A)って書けば、Aが起こる確率っぽいなって普通は思いますし。
文脈から切り離して、記号だけをパッと出して、「さて、どういう意味でしょう?」っていう問題自体に、あまり意味がないということのような気がします。

同感です

はじめまして。

 おっしゃるとおりだと思います。

sinxy はおそらく、sin(xy)とする事が多いですが、加法定理で出てくるsinxcosyはsinxとcosyの積とみなすことが多いと思います。

sinx・cosy とすることで、積であることをわかりやすくすることもあります。

 演算の優先順位について、全てについて事細かに決まっているわけではなくて、日常言語と同じで、「分かるように書く」、「文脈から判断する」と言うことだと思います。

 失礼しました。

Re: 同感です

コメントありがとうございます。

たしかに、sinxcosyという表記を見れば、直観的に (sin(x)) * (cos(y)) だと解釈しますけど、ヘリクツを言えば、sin(x*(cos(y))) と解釈できなくもないですね。

厳密に確定させるには、括弧を駆使すれば可能なんでしょうけど、そんなことしてたら表記がごちゃごちゃになって、かえって支障をきたしますよね。

混乱しない程度の書き方をしたうえで、「(記号の原則うんぬんはおいといて)この文脈だったら、普通こう解釈するでしょ」っていうのも大事な気がします。

No title

一般的によく使われてるからプログラムにも採用されてんだろ
この記事書いた奴はひょっとして中途半端にしか物事を考えてないんじゃないか

Re: No title

コメントありがとうございます。

議論はごく単純でして、

(a) 演算子が省略された場合には、乗算とする
(b) 上記の乗算の優先順位を、
 (b-1) 通常の乗算・除算よりも優先する
 (b-2) 通常の乗算・除算と同様とする

(a)のルールに反対している人はいません。

あとは、(b-1)にするか(b-2)にするかというだけの話です。

で、私の記事は学校教育的には(b-1)が採用されている、という話です。

私が、

>「Googleの計算結果でこう出ました」、「関数電卓でこう出ました」
>というのも、どっちの仕様でプログラムを組んだかという問題なので、
>これをもって正解とするのも根拠が弱い気がします。

と書いたのは、「なぜその仕様を採用しているか」というところまで言及していないので、根拠が弱いと感じたからです。。つまり、読んだ側からすれば、「電卓アプリで採用されているのだから、それが正解だ」というような安直な考え方に基づいているようにもとれてしまうからです。

電卓アプリで(b-2)が採用されているのは、記号の解釈のルールとしてシンプルだからだと思います。それに、ルールがきれいなのでプログラミング時の間違いやバグが入り込む可能性も低くできそうです。もし、(b-1)と(b-2)のどちらを取るかが自明でないという状況で、私がアプリの開発者だとしたら、強く(b-2)の仕様を推しますね。

一方、学校教育で(b-1)を採用しているのは、ルールとしてのシンプルさよりも、直感的な部分を重視したのではないかと思います。記号なしで隣り合ったものは、より結合が強いように感じるだろうから、その優先順位を特別扱いしよう、という。

という事情があるもんですから、私の結論としては、どちらが正しいというものではなく、設問自体があまりよくないんじゃないかというものでした。わざと、どちらにでもとれるような記法を使い、あーだこーだ言って議論を楽しむ、みたいな設問であると。それ自体は別に悪いことではないと思いますが。

そこで、あなたはこの問題にどのようなお考えをお持ちか、聞かせてもらえると幸いです。まさか、「一般的によく使われてるから」という点のみを論拠にして、何かを主張されているとも思えませんので。

No title

日本の教科書的に、
(b) 上記の乗算の優先順位を、
 (b-1) 通常の乗算・除算よりも優先する
ならば、きちんと習った事を答えているのが、「1」の人。
習った事を忘れたか、そもそも日本の教科書で習って無い人が「9」って、ことかなぁ。
省略された「・」は、「の」に置き換えて式を読むとわかりやすい。
この場合、6を2コの(1+2)で割る ということにならないかなぁ。

Re: No title

> ならば、きちんと習った事を答えているのが、「1」の人。
> 習った事を忘れたか、そもそも日本の教科書で習って無い人が「9」って、ことかなぁ。

コメントありがとうございます。

1と答える人が、習った事をきっちり覚えていているから、そう答えているかは、ちょっと微妙な気がしますね。

 (1) 乗算と除算の優先順位は同じ
 (2) 優先順位が同じ場合は前の方から処理していく

というところまでは、ほとんどの人の共通認識だと思います。

で、1と答える人は直感を重視するタイプかなと。演算子なしで隣接していると一塊に見えるから、まとめて扱うべきだろうと。

そして、9と答える人は理屈を重視というか、見た目の印象がどうであろうと(2)のルールを遵守、みたいなタイプ。

その際、「省略形は通常の乗算記号よりも優先順位が高い」という例外事項は考慮からもれているという具合でしょうか。でも、教育関係者以外でこんなルールをきちんと覚えている人はほとんどいないんじゃないかと・・・。

はじめまして

はじめまして。最近、参戦したものです。
私は日本教育の範囲では絶対に「1」になると思います。
海外などではどうなるか分かりません。

「9」と言っている人の中には、「演算記号が省略された乗算」と「通常の乗算・除算」の優先順位を言っている人もいるのですが、もっと厄介な人もいます。

それは、「演算記号が省略された乗算」は優先するがそれは単項式に限られるので、「6÷ab」なら「6÷(ab)」と解釈するが、「6÷a(b+c)」の形は「a(b+c)」が単項式でないので、「(6÷a)(b+c)」と解釈すると言う人もいます。

その根拠は、中学教科書には、「単項式をひとまとまりとする」というようなことしか書かれていないからということでした。

確かに「a(b+c)」は単項式ではないけども、単項式と同じようにひとまとまりとして優先して計算するように習っているハズなのですが、当たり前のことすぎて、どこでどう習ったのか記憶がありません。なので、明確にそう習っているいるという証拠を探しているところです。


「演算記号が省略された乗算」を優先するというのが、「a(b+c)」という場合でも優先する、というようなことは教科書などに明記されていますか? もしくは、「a(b+c)」の形式は単項とみなす、みたいな文言でも良いです。 もちろん、文字式に限った話でも構いません。
もし書かれていたら、教えてもらえると助かります。


長文、失礼しました。

Re: はじめまして

コメントありがとうございます。

より深い根拠に基づく9派の主張を理解しました。

たしかに、abにおけるaとbの関係と、a(b+c)におけるaと(b+c)の関係を、同様としていいかどうかは中学校の教科書の例からでは分からないですね。

手元にあるわけではないので断言はできませんが、a(b+c)でのaと(b+c)の乗算の関係を単項式でのもののように優先的に扱うか、あるいは扱わないかについての言及も教科書にはないのではないかと思います。

結局、教科書の範囲では明確に定義されていない、みたいなちょっとつまらないオチになるのかなあ気がします。

÷や×の記号も、学年があがるにつれて使わなくなっていくので、そもそも「6÷2(1+2)」のような設問自体が教科書的ではないのかもしれません。

なので、どうルールを決めるかというだけの話になって、

(A) 演算子の省略された乗算は「÷」よりも優先順位が高いというルールは、演算対象が単項式であるかにかかわらず適用される。

(B) 演算子の省略された乗算は「÷」よりも優先順位が高いというルールは、演算対象が単項式である場合にのみ適用され、それ以外の場合は同じ優先順位として扱う。

(A)を採用すれば答えは1である。(B)を採用すれば答えは9である。という感じでしょうか。

No title

返信ありがとうございます。

>結局、教科書の範囲では明確に定義されていない、みたいなちょっとつまらないオチになるのかなあ気がします。

そうなのかもしれませんね。


でも、私は、「a(b+c)」の形でも、ひとまとめとして計算する概念は、確実に習っていると思います。その根拠は・・・

「9」と言っている人の中には、知恵ノートの影響なのか、文字式と数字だけの式では計算順序が違うと主張する人が非常に多いです。

つまり、文字式「a÷b(c+d)」については「a÷(bc+bd)」と展開してそう解釈するが、同じ形式の「6÷2(1+2)」については「(6÷2)(1+2)」と解釈するから「9」だとというのです。

でも、これは明らかに矛盾しています。
「a÷b(c+d)」を「a÷(bc+bd)」と展開するのなら、展開前後の式に同じ値を代入したら計算結果は等しくなるハズです。それが、展開や因数分解というものです。
この考えの人に、展開前は「9」、展開後は「1」というのはおかしくないか?と尋ねると、返事がなくなります。

まぁ、そのことは気づいてもらえれば良いのですが、それよりも気になるのは、何故、「a÷b(c+d)」を「a÷(bc+bd)」と展開する人が多いのかということです。単項式のみ優先することしか習っていないのなら、「(ac+ad)÷b」になるハズです。でも、そういう人は殆どいません。

これは、単項式に限らず、「演算記号が省略された乗算」を優先するという概念が身についているからだと思うのです。だから、確実に習っていると思われます。でも、どこでどう習ったのか分かりません。

不思議な話だと思います。

Re: No title

to nemakiさん

私も、「単項式かどうかにかかわらず省略された乗算は優先」と思っている派です。これには習ったからとか、ルールがどうとか、そういうのではなくて、「どう考えたってそんな気がする」という非常に感覚的なものです。

で、なぜこの感覚を持つに到ったかと言う点について・・・

今、高校の数学Ⅰの教科書を眺めてみたのですが、×の記号も、÷の記号もほとんど登場してませんでした。掛け算は演算子省略の形で、割り算は分数の形で書くのが普通なので、自然にそうなりますよね。

文章題なんかで、最後に数値を当てはめて計算するところで、省略形や分数形で表現できないときに限って、×や÷を使っているという感じでした。

例としては、

 abに、a=2, b=3を代入して、2×3と書く
 (23とは書けないので当たり前ですが)

とか

 a/bに、a=1/2, b=1/3を代入して、1/2 ÷ 1/3と書く
 (分母や分子が分数にならないように)

みたいな特殊なケースだけです。

このような使い方ばかりなので、÷が使われるているのは、

 (ひとかたまり)÷(ひとかまたり)

のようなケースが多いんですよね。

÷の結合力が弱いような気がするのは、このようなケースを数多く見ているせいなのかなと思っています。

No title

教科書まで調べていただき、ありがとうございます。

そうなんですよね。
教科書とかでは、「÷」記号を使用する場所は限られてくると思います。除算は普通は分数の形式で書くので、分母と分子の範囲が明確になっていてカッコで括る必要がないから、今回のような複数の解釈ができるような問題は起こらないのだと思います。


「単項式かどうかにかかわらず省略された乗算は優先」と考えるのが普通だと思います。

最近気づいたのですが、ひとまとまりにして優先して計算するのは、単項式とか多項式とかいうことではなくて、同類項なのだと思います。

普通は同類項というと、「2a+3a」の同類項をまとめるみたいなことを言いますが、「ab+ac」を「a」に注目して同類項をまとめると「a(b+c)」になると考えることもできると思います。そして、「ac+ad+bc+bd」は、「a」と「b」に注目して同類項をまとめ「a(c+d)+b(c+d)」になり、さらに「(c+d)」に注目して同類項をまとまると「(a+b)(c+d)」になるのだと思います。

こうして同類項をまとめたあとの「a(b+c)」や「(a+b)(c+d)」は、ひとまとまりとして見るのが当然で、前に「÷」が付いたことぐらいで切り離されるものではないと考えるのが自然だと思います。

同類項をまとめたあとの「(a+b)(c+d)」の前半を切り離した「(a+b)」に一体なんの意味があるのでしょうか?「(a+b)(c+d)」になって初めて、意味のある式になるのだと思います。

そう考えるのが普通だと思うので、特に教わっていなくても、自然にそう理解しているのかも知れません。

No title

数字だけの式で演算子を省略していいのかが問題です。
文字式を含む場合は 2a は演算子が省略されて1つの
項と扱う約束が成り立っていますが、2(1+2) を1つの項と
見なす約束は成り立っていません。
本来、この式を書いた時点で間違いと見なすべきものです。

Re: No title

コメントありがとうございます。(気付かずに承認が遅くなりまして、すみません)

たしかに、演算子が省略されている式って、普通文字式を前提としていますよね。

ただ、数学Iの教科書(61 啓林館 数Ⅰ 007)をパラパラとめくっておりますと、微妙な例も見付かりました。

文字式を含まないものの乗算の演算子が省略されているというものです。

余弦定理を使って実際の数値を求めるという例題で、分母に

  2(√3-1)・2

という表現が現れていました。(ブログ記事本文の末尾に教科書のページの画像を貼っておきます)

この例の場合、文字式は含んでいないものの、ルートを使っているので、数字だけの式にあたるのかどうかは微妙ですが・・・

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